Eine Einführung in die Portfolio Selection Theory

Kapitel 4: Kovarianz

Offensichtlich weisen manche Anlageobjekte ähnliche Kursverläufe (und damit Risiko-Rendite-Profile) auf, andere hingegen scheinen sich eher gegenläufig zu verhalten. Um die Enge des Zusammenhangs z.B. zwischen zwei verschiedenen Aktien X und Y zu ermitteln, bedient man sich der Kovarianz:

In unserem Beispiel mit den drei Aktien A, B und C erhalten wir folgende Kovarianzen: 

s_A,B = +0,1%

s_A,C = -0,3%

s_B,C = +1,0%

Kovarianzen können also - wie bei der Kovarianz von A und C - auch negative Werte annehmen, d.h. die "Parallelität" der Renditeentwicklung dieser beiden Werte im Zeitverlauf ist gegenläufig.

Die Kovarianz hat aber auch noch eine weitere sehr wichtige mathematische Bedeutung: bei der Ermittlung des Erwartungswerts und der Volatilität eines zusammengesetzten Depots:

An der Formel für die Gesamtdepot-Volatilität (s_Depot) erkennt man sehr deutlich, dass diese nicht nur aus den gewichteten Summen der Einzel-Volatilitäten der darin enthaltenen Aktien besteht, sondern noch ein dritter Term (2 x s_X,Y x l_X x l_Y) unter der Wurzel auftaucht, der als wesentlichen Einflussfaktor die Kovarianz der beiden Anlageobjekte aufweist.

Das Phänomen wechselseitiger Abhängigkeiten zwischen den Volatilitäten der in einem Depot enthaltenen Werte, ist eine der wichtigsten Erkenntnisse des Markowitz-Modells.

Wenn wir zum Beispiel für das je zur Hälfte aus A- und B-Aktien bestehende Depot den Rendite-Mittelwert und die Volatilität errechnen, so erhalten wir:

Das arithmetische Mittel der Einzelvolatilitäten wäre aber:

  (8,3% x 50%) + (12,1% x 50%) = 10,2%

Die Kovarianz der beiden Werte hat also dafür "gesorgt", dass die Gesamt-Depot-Volatilität (und damit auch das Risiko) tatsächlich nur bei 7,7% und damit um über 2% niedriger liegt!

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